Mathématiques de base Exemples

$(\sqrt{2} + 9 \sqrt{10}) (2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{10})$

Étape 1

Développez $(\sqrt{2} + 9 \sqrt{10}) (2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{10})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2} (2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{10})$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{10})$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Multipliez $\sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Étape 2.1.1.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.1.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 2^{1} + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$2 \cdot 2 + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 + \sqrt{2} (- 6 \sqrt{10}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.4

Multipliez $\sqrt{2} (- 6 \sqrt{10})$ .

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Étape 2.1.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$4 - 6 \sqrt{2 \cdot 10} + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.4.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$4 - 6 \sqrt{20} + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.5

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$4 - 6 \sqrt{4 (5)} + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 - 6 \sqrt{2^{2} \cdot 5} + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$4 - 6 (2 \sqrt{5}) + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.7

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.8

Multipliez $9 \sqrt{10} (2 \sqrt{2})$ .

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Étape 2.1.8.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 18 \sqrt{10} \sqrt{2} + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.8.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$4 - 12 \sqrt{5} + 18 \sqrt{2 \cdot 10} + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.8.3

Multipliez $2$ par $10$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 18 \sqrt{20} + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.9

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.1.9.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 18 \sqrt{4 (5)} + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.9.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 18 \sqrt{2^{2} \cdot 5} + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$4 - 12 \sqrt{5} + 18 (2 \sqrt{5}) + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.11

Multipliez $2$ par $18$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} + 9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$

Étape 2.1.12

Multipliez $9 \sqrt{10} (- 6 \sqrt{10})$ .

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Étape 2.1.12.1

Multipliez $- 6$ par $9$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 \sqrt{10} \sqrt{10}$

Étape 2.1.12.2

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10})$

Étape 2.1.12.3

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1})$

Étape 2.1.12.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 {\sqrt{10}}^{1 + 1}$

Étape 2.1.12.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 {\sqrt{10}}^{2}$

Étape 2.1.13

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 2.1.13.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.1.13.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.1.13.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 \cdot 10^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.13.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.13.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 \cdot 10^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.1.13.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 \cdot 10^{1}$

Étape 2.1.13.5

Évaluez l’exposant.

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 54 \cdot 10$

Étape 2.1.14

Multipliez $- 54$ par $10$ .

$4 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5} - 540$

Étape 2.2

Soustrayez $540$ de $4$ .

$- 536 - 12 \sqrt{5} + 36 \sqrt{5}$

Étape 2.3

Additionnez $- 12 \sqrt{5}$ et $36 \sqrt{5}$ .

$- 536 + 24 \sqrt{5}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 536 + 24 \sqrt{5}$

Forme décimale :

$- 482.33436854 \dots$